«Безумные игральные кости» помогли ученым доказать, что работает только одна теория о случайности, которой уже 150 лет
Новое математическое исследование бросает вызов давно устоявшимся представлениям о том, как моделировать случайность.
В любой момент времени бесчисленное множество молекул непредсказуемо движутся в окружающем вас воздухе. Физики используют принцип, называемый распределением Больцмана, чтобы объяснить эту кажущуюся случайность. Вместо отслеживания точного положения каждой частицы этот закон описывает вероятность того, что система будет находиться в определенном состоянии.
Такой подход позволяет понимать большие системы, даже когда невозможно предсказать движения отдельных частиц. Полезное сравнение — это бросание игральной кости: хотя каждый бросок неопределен, повторные броски показывают устойчивую закономерность вероятностей.
Универсальное правило случайности
Впервые сформулированный в конце XIX века австрийским физиком и математиком Людвигом Больцманом, этот принцип до сих пор широко используется во многих дисциплинах. За пределами физики он встречается в таких областях, как искусственный интеллект и экономика, где он известен как многомерная логистическая модель.
В новых работах экономисты пересмотрели эту фундаментальную концепцию и пришли к неожиданному выводу. Их анализ показывает, что распределение Больцмана идеально подходит для описания независимых систем, то есть систем, в которых различные компоненты не влияют друг на друга.
Исследование, опубликованное в журнале Mathematische Annalen, было проведено Омером Тамузом, профессором экономики и математики в Калифорнийском технологическом институте, и Федором Сандомирским, бывшим постдокторантом Калифорнийского технологического института, а ныне доцентом экономики в Принстонском университете. Оба исследователя имеют образование в области физики, которое они используют в своей работе.
«Это пример того, как абстрактное математическое мышление может объединять различные области — в данном случае, связывая идеи из экономической теории с физикой», — говорит Тамуз. «Междисциплинарная среда Калифорнийского технологического института способствует таким открытиям».
Почему независимость важна в моделях
Ключевой вопрос, исследованный в работе, — это моделирование независимого поведения. Например, экономист, изучающий, как люди выбирают между двумя марками хлопьев для завтрака, хотел бы избегать моделей, которые создают нереалистичные связи. Если бы модель предполагала, что предпочтения в отношении хлопьев зависят от несвязанных между собой выборов, таких как выбор моющего средства для посуды или цвета рубашки, она была бы явно ошибочной.
«Мы бы предпочли не отслеживать дополнительные, казалось бы, нерелевантные выборы, например, какое мыло покупатель выбрал в другом ряду», — говорит Тамуз. «Мы задаемся вопросом: когда включение этого, казалось бы, несвязанного выбора оставит предсказание модели неизменным?»
Хотя распределение Больцмана уже удовлетворяет этому требованию, Тамуз и Сандомирский хотели узнать, могут ли другие теории сделать то же самое.
«Все используют одну и ту же теорию, — сказал Тамуз. — Но какие еще теории обладают этим замечательным свойством, которое правильно подтверждает отсутствие связи между несвязанными действиями? Следует ли нам использовать эти теории вместо них? Если такие теории существуют, они могут быть полезны как в экономике, так и в физике. Если же нет, то мы узнаем, что распределение Больцмана — единственная физическая теория, которая не является бессмысленной, и что многомерная логистическая регрессия — единственная экономическая модель, которая предсказывает независимые решения в несвязанных ситуациях».
Игральные кости раскрывают математику независимости
Чтобы исследовать, могут ли другие математические модели описывать независимые системы, экономисты разработали новые способы проверки лежащей в основе логики. Тамуз часто объясняет свой подход, используя игральные кости. Одна игральная кость дает непредсказуемые результаты, от 1 до 6. Хотя каждый отдельный бросок неопределен, многократное повторение эксперимента выявляет стабильную закономерность, причем каждое число появляется примерно в одной шестой случаев. Эта закономерность представляет собой распределение вероятностей одной игральной кости.
Федор Сандомирский
Федор Сандомирский. Автор фото: Дениз Эпплвайт, Принстонский университет
Когда бросают две игральные кости и записывают их результаты, получается различное распределение. Некоторые исходы встречаются реже, чем другие. Например, сумма 2 выпадает только тогда, когда обе кости выпадают на 1, что дает вероятность 1 из 36. Напротив, сумма 8 может быть сформирована пятью различными способами, что дает вероятность 5 из 36. Важно отметить, что результат одной кости не влияет на другую. Это независимые системы. В приведенном выше примере одна кость представляет выбор хлопьев для завтрака, а другая — выбор моющего средства для посуды, и ни одно из решений не должно влиять на другое.
Чтобы развить эту идею дальше, исследователи представили необычную пару игральных костей, известных как кости Сихермана, созданные в 1977 году конструктором головоломок полковником Джорджем Сихерманом. Тамуз, который хранит набор этих костей на своем столе, отмечает, что на их гранях находятся нетрадиционные числа. Одна игральная кость помечена цифрами 1, 3, 4, 5, 6, 8, а другая — 1, 2, 2, 3, 3 и 4. Несмотря на необычную конструкцию, при броске обеих костей и записи только суммы, результаты совпадают с результатами, полученными при бросании стандартных игральных костей. Например, вероятность выпадения 2 остается равной 1 из 36, а вероятность выпадения 8 — 5 из 36. Другими словами, распределение сумм идентично.
Это свойство дало Тамузу и Сандомирскому мощный инструмент для проверки. Они сравнили, как различные математические теории обрабатывают как стандартные игральные кости, так и эти нетрадиционные кости. Если теория давала одинаковое распределение сумм для обеих, она успешно сохраняла независимость. Если же она давала разные результаты, это подразумевало ложную связь между несвязанными системами и, следовательно, не срабатывало.
Полиномиальное доказательство решает вопрос
Чтобы расширить поиск допустимых альтернатив, экономисты искали больше примеров нетрадиционных игральных костей, помимо первоначальной пары Сихермана. Каждый новый пример предоставлял еще один способ оценки конкурирующих теорий. Поскольку существует бесконечно много возможных математических моделей, они построили набор из бесконечного числа теоретических пар игральных костей.
Систематически проверяя эти случаи, они в конечном итоге получили доказательство, исключающее все альтернативы. Их результат показывает, что давно установленное распределение Больцмана, используемое в науке более века, является единственной последовательно работающей моделью.
С математической точки зрения, всю проблему можно выразить с помощью полиномов, функций, таких как f(x) = x + 3x² + x³, которые обычно вводятся в алгебре. Любое обсуждаемое распределение вероятностей, будь то основанное на формулировке Больцмана или на конкурирующей теории, может быть записано в этой форме.
Например, первая игральная кость Сихермана со сторонами 1, 3, 4, 5, 6, 8 соответствует f(x) = x1 + x3 + x4 + x5 + x6 + x8. Вторая игральная кость, со сторонами 1, 2, 2, 3, 3, 4, соответствует g(x) = x1 + 2x2 + 2x3 + x4. Умножение этих выражений, f(x) · g(x), дает другой многочлен, представляющий распределение их суммарных результатов.
Этот результат совпадает с распределением, полученным с помощью двух стандартных игральных костей, каждая из которых описывается выражением h(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6, что означает, что h(x) · h(x) дает то же самое суммарное распределение, что и f(x) · g(x).
Это соотношение отражает идею независимости систем друг от друга. Для достижения окончательного вывода потребовались новые математические знания о том, как ведут себя эти многочленные представления.
«Мы не знали, чего ожидать, когда начинали это», — говорит Сандомирский. «Нас заинтриговали эти парадоксальные предсказания, и мы задались вопросом, что значит, если у теории нет никаких предсказаний. В конце концов, мы поняли, что это означает, что это должна быть теория Больцмана. Мы нашли новый взгляд на концепцию, которая более века является основным тезисом учебников».
